Представлены явные численно реализуемые формулы для операторов Пуанкаре–Стеклова, таких как операторы Дирихле–Неймана, Дирихле–Робена, Робена1–Робена2, Гринберга–Майергойза, относящихся к двумерному уравнению Лапласа. Эти формулы базируются на лемме об однолистном изометрическом отображении замкнутой аналитической кривой на окружность. Численные результаты для областей с весьма сложной геометрией получены для нескольких тестовых гармонических функций для операторов Дирихле–Неймана и Дирихле–Робена.

Рассматривается классическая система с разделением и параллельным обслуживанием. Предлагается модель для определения оптимальной стоимости функционирования такой системы, учитывающая необходимость минимизации среднего времени отклика одновременно с разумными затратами на необходимые для этого ресурсы. Под термином “ресурсы” в рамках исследуемой математической модели подразумеваются интенсивности обслуживания на приборах, стоимость расходов на которые прямо пропорциональна производительности системы, т.е. скорости обслуживания заявок. Для частного случая, когда число подсистем равно двум, представлено точное аналитическое выражение для определения оптимальной стоимости; для более общего случая, когда число подсистем fork-join системы больше двух, получено уравнение, численное решение которого позволяет вычислить искомую величину. Кроме того, проведен асимптотический анализ поведения полученных решений.

Предлагается новый подход к оценке квантилей распределения времени отклика системы массового обслуживания с разделением и параллельным обслуживанием заявок, для обозначения которой в англоязычной литературе используется термин fork-join. Рассматривается классический вариант данной системы с пуассоновским входным потоком и экспоненциальными временами обслуживания на однородных приборах. Заявки при поступлении в систему мгновенно разделяются на фиксированное число подзаявок и отправляются на обслуживание в соответствующие подсистемы с накопителем неограниченной емкости и одним прибором. Заявка считается обслуженной после обслуживания всех ее компонентов. Данная система позволяет смоделировать множество реальных процессов, для которых с целью увеличения эффективности характерно разделение крупных задач на более мелкие составляющие, например, системы параллельных или распределенных вычислений. Сложность анализа систем заключается в наличии зависимости между временами пребывания подзаявок, что значительно затрудняет анализ всех показателей производительности таких систем. Основным вкладом статьи является подход к определению квантилей распределения времени отклика, оценка которых является не менее ценной по сравнению с оценкой среднего значения времени отклика. При этом вычислению математического ожидания посвящено гораздо большее количество работ в данной области, что объясняется в том числе сложностью проведения подобного анализа даже для данной характеристики, а оценка квантилей представляется еще более трудоемкой задачей.

На компактном замкнутом связном многообразии без края рассматривается ресурс, динамика плотности которого доставляется уравнением типа Колмогорова- Петровского-Пискунова и Фишера. Коэффициенты этого уравнения явно не за- висят от времени; однако коэффициенты члена реакции (помимо зависимости от точки многообразия) зависят также от общего объема ресурса (или аналогичной характеристики), который в общем случае зависит от времени. Последнее делает уравнение нелокальным и существенно осложняет анализ его решений по сравне- нию с классической КПП-моделью, включая и оптимизацию этих решений.