Предлагаются новые методы, позволяющие использовать свойства мо- делей нелинейной динамики для анализа динамики реальных социально- экономических процессов. Для этого разработан комплекс моделей в виде связанных нелинейных одномерных и многомерных отображений, отвечаю- щий общим закономерностям социально-экономических процессов, – разви- тие в быстроменяющейся среде в условиях ресурсных ограничений. Предла- гаемый комплекс моделей позволяет анализировать динамику процессов в предположениях как их независимости, так и взаимосвязанности между со- бой. Вводится определение взаимосвязанных процессов как процессов, раз- вивающихся в условиях общего ограничения. Предлагаются три критерия для выявления взаимосвязанных процессов по эмпирическим данным. В слу- чае взаимосвязанности процессов параметры одномерных и многомерных моделей оказываются тоже взаимосвязанными, что позволяет глубже прово- дить анализ рассматриваемых ситуаций. Использование предложенного ме- тода демонстрируется на примере анализа динамики выручки российских компаний в период с 2006 по 2015 гг. (всего 38 тыс. компаний). Все компании были разбиты на четыре группы, в зависимости от темпов прироста выручки с 2010 по 2015 г. Исследована и отвергнута гипотеза возможной взаимосвязи упадка одной и параллельного усиления другой группы российских фирм после кризиса 2008–2009 гг.

Статья посвящена проблеме устойчивости роста компаний и возможности его прогнозирования, исходя из предшествующего развития. На основе сочетания моделей нелинейной динамики и регрессионного анализа впервые эмпирически подтверждены распространенные априорные представления о снижении потенциала роста фирмы по мере заполнения рыночной ниши ее продукцией. Установлено, что устойчиво быстрого роста добиваются фирмы, которым удается достичь динамического равновесия, наращивая размеры ниши по мере ее насыщения. У медленно растущих фирм рост компаний сдерживается не ограниченностью ниши, а неспособностью фирмы ее занять. Выявленные закономерности представляют практический интерес в контексте проводимых многими странами, включая Россию, программ государственной поддержки быстрорастущих компаний.

Рассматривается нелинейная автономная связанная система общего вида в окрестности равновесия. Предполагается, что матрица линейного приближения имеет пару чисто мнимых собственных значений с частотой 𝜔; другие собственные значения не кратны указанному и отличны от нуля. Исследуются колебания при действии на систему периодического управления с частотой 2𝜋/𝜔 и малым коэффициентом регулятора 𝑘. Устанавливается существование резонансного колебания управляемой системы, в терминах параметра 𝑘 оцениваются амплитуды колебаний, анализируется устойчивость колебания. Ранее результат был известен для системы Ляпунова.

Рассматривается механическая система с n степенями свободы, поверженная действию позиционных сил и малого гладкого управления. Предполагается, что в отсутствие управления система допускает семейство одночастотных колебаний. Находится универсальное управление - нелинейная сила, посредством которой в управляемой системе реализуется и одновременно стабилизируется цикл. Приводится пример. Ранее управление строилось для двумерного многообразия системы.