Статья является первой из планируемого цикла публикаций, иллюстрирующих приложение геометрической теории сингулярных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных к описанию особых режимов в системах управления с распределенными параметрами. Рассмотрена задача двухфазной одномерной фильтрации флюидов (нефти и воды) в пористых средах природных нефтяных залежей.

Статья посвящена разработке и математическому моделированию системы стабилизации неустойчивого вертикального положения плазмы в токамаке Т-15 (Институт физики токамаков, НИЦ «Курчатовский институт»). Анализируются полоидальные системы вытянутых по вертикали токамаков с целью выявления наиболее рационального расположения обмотки горизонтального магнитного поля (быстрой обмотки) в токамаке Т-15 для подавления вертикальной неустойчивости плазмы. Производится оценка областей управляемости вертикального смещения магнитной оси плазмы для различного расположения быстрой обмотки: a) вне тороидальной обмотки, б) между тороидальной обмоткой и вакуумной камерой, в) внутри вакуумной камеры токамака. В части I работы проводится исследование линейной системы управления вертикальным положением плазмы, когда быстрая обмотка расположена вне тороидальной обмотки токамака. Показано, что для данной конфигурации полоидальной системы токамака Т-15 система управления внутренне неустойчива. Внутренняя устойчивость системы достигается посредством многомерной системы управления, в которой для управления вертикальным положением плазмы и током в быстрой обмотке используются все обмотки центрального соленоида и обмотки полоидального поля.

Рассматриваются задачи вариационного исчисления и оптимального управления, допускающие использование управлений импульсного типа и соответственно разрывные решения. Показана эволюция понятия сингулярного пространственно-временн{\'о}го преобразования начиная с задач классического вариационного исчисления и заканчивая задачами оптимального управления в фазе удара

Исследуется построение стабилизирующей статической линейной обратной связи по состоянию для линейной системы при заданных ограничениях на управление. Синтезируется квадратичный функционал, для которого данное управление является оптимальным. Изучается вопрос хрупкости полученного регулятора - потери им требуемых свойств при небольших изменениях его коэффициентов. В качестве технического средства используется аппарат линейных матричных неравенств.

В статье рассмотрены функции сингулярные по Лебегу, не имеющие интервалов монотонности. Изучены дифференциальные свойства таких функций, в частности, поведение их верхних производных чисел Дини. Показано, что такие функции являются фрактальными. Рассмотрены приложения таких функций в задачах управления распределенными системами.