The work is devoted to the construction of an asymptotic observer for a pacemaker model based on the Van der Pol equation. The cardiac system can be represented as a combination of three oscillatory circuits: the sino-atrial node (pacemaker), the atrio-ventricular node, and the ventricular conducting system, models of which can be constructed using the Van der Pol equation. In practice, only the values of the potentials of the nodes are measurable, while the rates of their changes are not directly measured. The work of the asymptotic observer with linear dynamics of error constructed in the work is illustrated by the mathematical modeling.

Активное развитие клеточной терапии в последние десятилетия обусловило большой интерес к культивированию клеточных популяций в лабораторных условиях (in vitro). Одно из направлений клеточной терапии — трансплантология стволовых клеток. Необходимый для трансплантации клеточный материал получают путем культивирования клеток, взятых у пациента. Однако часто возникают проблемы, связанные с генетическими мутациями клеток в процессе культивирования, а именно — перерождение части мутировавших клеток в «бессмертные» (раковые) клетки, что делает трансплантацию такого материала небезопасной для пациента. Лабораторные исследования динамики развития клеточных популяций требуют существенных затрат, обычно такие исследования проводятся в начале культивирования, в середине процесса, и при завершении процесса культивирования. Детально судить о развитии клеточной популяции по таким данным сложно. Здесь важную роль играет математическое моделирование. В работах [8–11] была предложена и исследована клеточная популяционная система, состоящая из двух видов клеток: нормальных (здоровых) и аномальных (анеуплоидных). Интерес к такой популяционной системе вызван тем, что, хотя анеуплоидные клетки и имеют время жизни меньшее, чем нормальные, небольшая часть анеуплоидных клеток может переродиться в практически «бессмертные» раковые клетки, популяция которых со временем может стать доминирующей. В качественном анализе нелинейных динамических систем стандартной составляющей является информация о количестве точек покоя, их характере и расположении. Ранее [16] было проведено подробное исследование точек покоя и их возможный характер в зависимости от биологических параметров, таких как доли погибающих клеток, среднее время клеточного цикла, доли нормальных клеток, переходящих в популяцию аномальных и т.д. Однако исчерпывающий ответ по этому вопросу не был получен. В данной работе продолжается исследование двухкомпонентной популяционной модели, рассматривавшейся ранее [9–11,16]. Исследование сосредоточено на нулевом положении равновесия. Уточняются условия устойчивости с учетом того, что динамическая система в силу ее биологического содержания должна рассматриваться в первом квадранте плоскости. Кроме того, проведено исследование нулевого положения равновесия в критических случаях, в которых метод исследования устойчивости по линейному приближению не работает.

This paper contains results concerning superreflective Besov spaces. Namely, expressions for convexity moduli and smoothness moduli with respect to the “canonical” norms are derived, and properties related to the finite representability of Banach spaces and linear compact operators in Besov spaces are examined. Additionally, inequalities of the Prus–Smarzewski type for arbitrary equivalent norms and inequalities of the James–Gurariy type are presented. Based on the latter, two-sided estimates for the norms of elements in Besov spaces can be obtained in terms of the expansion coefficients of these elements in unconditional normalized Schauder bases.