АННОТАЦИЯ Рассматриваются детерминированные непрерывные конечномерные стационарные линейные динамические системы управления с многими входами и многими выходами. Предполагается, что матрица динамики может быть как устойчивая, так и неустойчивая, но ее собственные числа различны, не принадлежат мнимой оси и не являются зеркальным отображением друг друга относительно нуля плоскости собственных чисел. В рамках единой постановки рассмотрены задачи построения спектральных решений уравнений состояния и матриц грамианов управляемости этих систем, а также связанных с ними энергетических функционалов степени устойчивости и достижимости с целью оптимального размещения датчиков и исполнительных механизмов многосвязных систем управления и сложных сетей. Для решения перечисленных задач в статье использованы различные модели системы в пространстве состояний: общее представление, а также представление в различных канонических формах. Для вычисления спектральных разложений грамианов управляемости использованы псевдоганкелевые матрицы (матрицы Сяо). Предложены новые методы и разработаны алгоритмы вычисления грамианов управляемости и энергетических метрик линейных систем. Результаты исследований могут найти применение для оптимального размещения датчиков и исполнительных механизмов многосвязных систем управления, управления с минимальной энергией в сложных сетях различной природы.

Рассматривается гладкая автономная система общего вида, допускающая невырожденное периодическое решение. Строится глобальное семейство (по параметру h) невырожденных периодических решений, выводится закон монотонного изменения периода на семействе, доказывается существование редуцированной системы второго порядка. Для нее решается задача стабилизации колебания управляемой системы, выделенного значением параметра h. Находится гладкое автономное управление, конструируется притягивающий цикл.

Важнейшей нерешенной задачей теории управления является задача оптимизации мультипликативной стохастической системы в классе регуляторов по выходному сигналу, наблюдаемому в шумах. Регулятор в цепи обратной связи должен быть допустимым, т.е. обеспечивать устойчивость замкнутой системы и гарантировать требуемый уровень подавления внешних возмущений, действующих на регулируемый объект. В статье в рамках стохастической теории $H^2/H_{\infty}$-управления при наличии помех решается задача анализа, т.е. нахождения условий существования допустимых регуляторов. Полученные результаты могут использоваться далее в задаче синтеза при условной оптимизации мультипликативной стохастической системы в классе допустимых регуляторов динамического типа.

Анализируется связь диамагнитного сигнала с током и давлением анизотропной плазмы в токамаке. Она хорошо известна для цилиндрической плазмы круглого сечения, но здесь форма плазмы счита- ется произвольной и учитывается тороидальность системы в комбинации с анизотропией. Это су- щественно усложняет вычисления и требует интегрирования обобщенного уравнения Грэда–Ша- франова. Аналитические вычисления выполняются по схеме, применявшейся для изотропной плазмы в [Pustovitov V.D., Fusion Eng. Des. 2017. V. 117. P. 1]. Сделаны оценки большой группы сла- гаемых, возникающих из-за анизотропии, и выделен главный эффект. Результат готов для практи- ческого использования.

Получена локальная нормальная форма для векторных полей Руссари с вырожденной квадратичной частью.