Лапласовская матрица -- это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы неположительны и все строчные суммы равны нулю. Каждой лапласовской матрице соответствует взвешенный орграф с положительными весами дуг. Исследуется проблема действительности спектра лапласовской матрицы для орграфов специального вида, состоящих из двух "встречных" гамильтоновых циклов, в одном из которых удалена одна или две дуги. Характеристические многочлены лапласовских матрицтаких орграфов выражаются через многочлены Z_n(x), которые могут быть получены из многочленов Чебышёва второго рода P_{2n}(y) подстановкой y^2=~x. Получены результаты, связанные со свойствами произведения многочленов Чебышёва второго рода. Приведен прямой метод вычисления спектра лапласовской матрицы цепи. Полученные результаты могут быть использованы для подсчета количества остовных деревьев в орграфах рассматриваемого вида. Одно из возможных практических приложений этих результатов -- исследование топологии и разработка новых протоколов Интернета.

Изложена теория симметричных периодических движений для системы второго порядка. В качестве приложения рассмотрена задача классическая Колмогорова - Ситникова.

Изложена теория обратимых механических систем с первыми интегралами. В частности, введены понятия симметричного и асимметричного интегралов. Доказано, что любой первый интеграл есть сумма симметричного и асимметричного первых интегралов. Установлена связь симметричного периодического движения и первого интеграла. Доказана отсутствие почти везде четвертого первого интеграла в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

Изучаются колебания квазиавтономной периодической системы, когда порождающая автономная система допускает семейство периодических движений T(h). Показано, что в обыкновенной точке, где dT(h) отлична от нуля, правилом является рождение единственного цикла. Получены условия устойчивости цикла.

Тематический выпуск журнала Автоматика и телемеханика, посвященный 70-летию со дня рождения академика Вячеслава Сергеевича Танаева.