Современные методы оптимизации широко используют l1-подход к задачам регрессии (метод Лассо), обработке сигналов (l1-регуляризация) и изображений (принцип сжимающего описания, compressed sensing). На этом пути получены впечатляющие результаты, серьезно отличающиеся от стандартных квадратичных подходов. Однако l1-подход, по-видимому, не применялся систематически в теории управления. Здесь можно отметить исследования оптимальных систем управления, в которых функционал имеет вид l1-нормы, а ограничения отсутствуют. Эти исследования восходят к Н.Н. Красовскому (60-е годы прошлого века) им было показано существование импульсных оптимальных управлений. Структура достижимого множества в задачах с l1-ограничениями изучалась А.М. Формальским. Некоторые конкретные задачи построения оптимальных по расходу топлива траекторий (т.е. с критерием типа l1) были решены Д.Е. Охоцимским (1946 г.) Однако эти работы относились в основном к непрерывным системам управления, они были направлены на выяснение условий существования решения, понимание импульсных решений как обобщенных решений, нахождение условий оптимальности. Мы же будем рассматривать дискретные задачи управления, что снимает математические проблемы существования и импульсного характера решений, и будем их исследовать в контексте идеологии l1-оптимизации, делая упор на свойствах решения (малое число ненулевых компонент) и на численных методах отыскания решения.Нужно сказать, что современное развитие компьютерной техники и методов оптимизации привело к пересмотру традиционного взгляда на постановки многих задач управления и оптимизации. Если раньше практически повсевместно применялись квадратичные критерии (метод наименьших квадратов в оценивании, линейно-квадратичные задачи в управлении) просто потому, что для них можно было получить аналитическое решение (точнее, свести задачу к решению нормальных уравнений или уравнения Риккати), то теперь рассмотрение задач минимизации с модульными функциями также не вызывает трудностей. Особый интерес представляет применение l1-подхода в задачах фильтрации. Калмановский фильтр является оптимальным при гауссовских возмущениях и помехах. Однако предположение о нормальности (и даже случайности) возмущений в уравнении движения редко бывает обосновано, и в этой ситуации предлагаемый l1-фильтр является более предпочтительным.
