В теории оптимального управления вопросы, связанные с необходимыми условиями оптимальности и управляемости системы, являются одними из основных. В данной работе для управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются понятие ее локальной управляемости относительно произвольной непрерывной функции и понятие траектории геометрического локального инфимума. Отметим, что они двойственны друг к другу в том смысле, что либо управляемая система локально управляема относительно данной функции, либо эта функция является траекторией геометрического локального инфимума. Понятие траектории геометрического локального инфимума обобщает понятие траектории локального инфимума (ранее введенного авторами), которое, в свою очередь, обобщает классическое понятие оптимальной траектории. Траектория локального инфимума — это функция, на которой целевой ункционал достигает своего минимума. При этом она, вообще говоря, не является допустимой траекторией, но есть равномерный предел таковых. Оптимальная траектория может не существовать, но существование траектории локального инфимума, очевидно, вполне достаточно для приложений. Ранее указанная двойственность понятий локальной управляемости относительно произвольной непрерывной функции и траектории геометрического локального инфимума исследовалась авторами в случае, когда необходимые условия траектории локального инфимума были первого порядка. В данной работе речь идет о необходимых условиях второго порядка. Следует сказать, что необходимые условия первого и второго порядков траектории локального инфимума усиливают соответствующие все классические условия (в частности, принцип максимума Понтрягина). Наша основная цель — показать, что введение более общих понятий (локальная управляемость относительно произвольной функции, траектория гео- метрического локального инфимума) позволяет единообразно смотреть на вопросы управляемости и оптимальности в оптимальном управлении. Важную роль играют примеры в конце статьи.