Исследуется простейшая задача вариационного исчисления в пространстве абсолютно непрерывных функций. В рассматриваемой постановке задачи предполагается, что лагранжиан является ограниченной снизу непрерывной функцией, действующей в расширенную вещественную прямую. Показана корректность постановки задачи. В случае, когда лагранжиан в задаче имеет специальный вид, получены необходимые условия слабого локального минимума и сильного локального минимума в форме уравнения Эйлера. Важное отличие полученных результатов от известных ранее состоит в следующем. Полученные необходимые условия применимы и в случае, когда функция, на которой достигается минимум, имеет особенность. Применение полученных результатов продемонстрировано на примере задачи о брахистохроне в классе абсолютно непрерывных функций. С помощью полученных в статье необходимых условий минимума показано, что, как и в классической постановке задачи о брахистохроне, циклоида является единственной функцией, подозрительной на экстремум. Поскольку эта кривая имеет особенность в нуле, то приведенный пример демонстрирует применение полученных результатов в случае наличия особенностей.