Исследуются опорные условия сильной выпуклости и гладкости для выпуклых компактных множеств. Изучается множество граничных то- чек выпуклого компактного подмножества из R n , в которых указанные условия выполняются. Для выпуклых компактных множеств получены некоторые условия регулярности их границы в терминах опорных условий. Известно, что выполнение опорного условия сильной выпуклости в точке минимума выпуклой липшицево дифференцируемой функции на выпуклом компактном множестве является достаточным для сходимости методов проекции градиента и условного градиента со скоростью убывающей геометрической прогрессии. Для задачи поиска проекции точки на выпуклое компактное множество сравниваются метод проекции градиента и метод условного градиента при наличии и отсутствии опорного условия сильной выпуклости.