Контекст и актуальность. В работе решается задача быстродействия для линейной стационарной системы с дискретным временем и суммарными ограничениями на управление первого порядка. Цель. Продемонстрировать возможность построения гарантирующего по быстродействию управления. Гипотеза. Гарантирующее решение, найденное при применении алгоритма полиэдральной аппроксимации, будет сходиться к оптимальному. Методы и материалы. Данная задача обладает рядом особенностей, которые осложняют её решение с помощью таких стандартных методов, как динамическое программирование и принцип максимума. По этой причине предлагается использовать для решения задачи быстродействия геометрический подход и аппарат множеств 0-управляемости. Результаты. Для случая, когда суммарные ограничения являются кусочно-линейными, доказано, что все множества 0-управляемости представляют собой многогранники, что позволяет свести исходную задачу управления к решению ряда задач линейного программирования. Для произвольных выпуклых суммарных ограничений показана возможность построения гарантирующего решения в смысле времени быстродействия на основе методов полиэдральной аппроксимации. Выводы. Исследована сходимость гарантирующего решения к оптимальному: доказано, что она будет выполнена за конечное число итераций, если используемый алгоритм полиэдральной аппроксимации гарантирует сходимость в смысле метрики Хаусдорфа. Разработанные теоретические результаты продемонстрированы на численном примере.