«Зависимость от параметра точек совпадения отображений и распространение метода Тонелли на неявные дифференциальные уравнения»
Е.С. Жуковский, Д.С. Лобков

(Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина)

 

Сформулирована теорема о существовании и непрерывной зависимости от параметра точек совпадения двух отображений метрических пространств. Одно из отображений регулярное, а второе — это предел последовательности в совокупности компактных отображений. Получены следствия из этой теоремы для точки совпадения \alpha-накрывающего и компактного \beta-липшицева отображений нормированных пространств при \alpha=\beta. Затем эта теорема применяется для распространения на неявные (не разрешенные относительно производной) дифференциальные уравнения метода Тонелли, известного для дифференциальных уравнений явного вида. Метод состоит в замене значения искомой функции в "настоящий" момент времени t ее уже известным значением в "прошедший" момент времени t-\tau (здесь \tau>0). Таким образом, исходное дифференциальное уравнение заменяется уравнением с запаздыванием. Начальная задача для такого "приближенного" уравнения имеет решение. При естественных условиях удается показать, что для любой последовательности \tau_i \to 0+ последовательность соответствующих решений начальной задачи уравнений с запаздыванием сходится к решению исходного уравнения (с тем же начальным условием). Тем самым устанавливается разрешимость начальной задачи для неявного уравнения без "традиционного" предположения липшицевости по фазовой переменной.

 

    До встречи на семинаре!