Мы строим локальную вариационную структуру Пуассона (оператор Гамильтона) для (2 + 1)-мерного уравнения Эйлера в вихревой форме. Обратный оператор определяет нелокальную симплектическую структуру для уравнения. Мы описываем действие этого оператора на инфинитезимальные контактные симметрии в терминах дифференциальных покрытий над уравнением Эйлера. Кроме того, мы строим нелокальный оператор рекурсии для косимметрий. Наконец, мы обобщаем локальную вариационную структуру Пуассона для уравнения Эйлера на двумерном римановом многообразии.