Рассматривается неравенство Лежанского-Поляка-Лоясевича для вещественно-аналитической функции на вещественно-аналитическом компактном многообразии без края
в конечномерном евклидовом пространстве. Неравенство возникло независимо в 1963 году в работах трёх авторов: Лежанского и Лоясевича из Польши и
Поляка из СССР. Оно оказалось очень полезным инструментом для исследования сходимости градиентных методов,
первоначально в безусловной оптимизации, а в течение последних нескольких десятилетий и в задачах условной оптимизации.
Главным образом оно применяется для гладких в определенном смысле функций на гладких в определенном смысле многообразиях.
Мы предлагаем вывод неравенства из условия ограничения ошибки степенного типа на компактном вещественно-аналитическом многообразии.