Конструируются дифференциально-геометрические структуры, ассоциированные с системами уравнений Монжа-Ампера на многообразиях, и применяются для редукции этих уравнений. Рассматривается категория систем уравнений Монжа-Ампера, морфизмами которой служат замены независимых и зависимых переменных, и ряд ее подкатегорий. Основное внимание уделено подкатегориям уравнений локально эквивалентных треугольным и полутреугольным системам, системам линейным относительно производных (полулинейным), имеющим постоянные коэффициенты, а также системам в полных дифференциалах. Доказываются эффективно проверяемые признаки, позволяющие определить, когда данная система уравнений Монжа-Ампера принадлежит указанным подкатегориям. В качестве следствий получены условия локальной сводимости системы Монжа-Ампера к одному уравнению второго и первого порядка.