Найдены условия ограниченности преобразования Гильберта H, действующего из пространства Бесова B^s_{pq}(R, u) в B^s_{pq}(R, w) с весовыми функциями u, w из класса Мукенхоупта A∞. При этом область определения H сужена на подкласс функций из H^p(R). Результаты получены с помощью представления H через операторы дробного интегрирования Римана–Лиувилля на действительной оси, на нормы образов и прообразов которых в рабо- те устанавливаются самостоятельные оценки. Отдельно приводится критерий ограниченности преобразования Гильберта H в весовых пространствах Бесова и Лизоркина–Трибеля на подмножестве функций из класса Шварца S(R).