На основе полиномов Бернштейна получены два класса формул типа Тейлора для произвольных непрерывных функций на отрезках. Эти формулы применимы как к гладким функциям, так и к функциям, которые ни в одной точке не имеют ни конечных, ни бесконечных производных. В работе формулы типа Тейлора рассматриваются в тесной связи с производными числами Дини, существующими для любых непрерывных функций. Приводится пример применения этих формул в задаче управления распределенной колебательной системой, динамика которой подчиняется представлению Даламбера.