Для линейной управляемой системы x′∈Ax+U, x(0)=0, рассматривается множество достижимости на некотором отрезке времени. Исследован ряд ситуаций, когда это множество достижимости является пересечением шаров фиксированного радиуса R (т.е. сильно выпукло с радиусом R), в ряде случаев получена оценка сверху для R. Оказывается, свойство быть сильно выпуклым в определенном смысле достаточно типично для указанного множества достижимости. Полученный результат имеет ряд приложений: возможность построения внешней многогранной аппроксимации множеств достижимости с меньшей, чем в общем случае, погрешностью в метрике Хаусдорфа, приложения в линейных дифференциальных играх и некоторых оптимизационных задачах.