В сообщении класс дифференцируемых всюду функций без интервалов монотонности рассматрива-ется с позиции теории чисел. Строится теоретико-числовое представление множества точек единич-ного отрезка с помощью классификации трансцендентных чисел, предложенной К. Малером, форму-лируется теорема о достаточных условиях принадлежности дифференцируемых функций к данному классу. Приводятся результаты, посвящённые поведению производных от функций из этого клас-са. Рассматривается смешанная задача для уравнения теплопроводности, моделирующего процесс теплообмена в распределённой системе. Показывается, что функция управления такой системой мо-жет быть дифференцируемой всюду и не иметь интервалов монотонности.