В дискретных динамических системах определен новый класс бифуркаций и изложены методы их диагностики и анализа свойств. Исследуемые TQ-бифуркации реализуются в дискретных отображениях и связаны с качественным перестроением формы траекторий в расширенном пространстве состояний. В рамках демонстрации основных возможностей инструментария проведен анализ логистического отображения в области расположенной справа от предельной точки удвоений периода. Найдены пять критических значений параметра, при которых происходит качественная перестройка геометрической структуры траекторий отображения. Дополнительно проведено исследование так называемого отображения следа , возникающего в задачах квантовомеханического описания различных свойств дискретных кристаллических и квазикристаллических решеток.