На двумерной поверхности $S$ рассматривается гладкая метрика $$ ds^2 = a(x,y) \, dx^2 + 2b(x,y) \, dx dy + c(x,y) \, dy^2 $$ переменной сигнатуры, вырождающаяся на некоторой регулярной дискриминантной кривой $S_0 \subset S$. Дискриминантная кривая $S_0$ имеет уравнение $ac-b^2=0$ и (локально) разделяет $S$ на области постоянной сигнатуры: {\it риманову} ($R$) и {\it лоренцеву} ($L$). В~этих областях геодезический поток, порожденный метрикой, не имеет особенностей, и через каждую точку $q \in R \cup L$ в каждом касательном направлении $p \in P {\mathbb{R}}^2$ проходит ровно одна геодезическая. Напротив, из точки $q \in S_0$ геодезические не могут выходить в произвольных касательных направлениях, а только лишь в некоторых {\it допустимых}. В случае общего положения все три коэффициента метрики не обращаются в нуль одновременно, и в каждой точке $q \in S_0$ определено единственное {\it изотропное} направление $p_0(q)$, определяемое из уравнения $a(x,y) \, dx^2 + 2b(x,y) \, dx dy + c(x,y) \, dy^2 = 0$. Изотропное направление всегда является допустимым, и из точки $q \in S_0$ в направлении $p_0(q)$ всегда выходит бесконечное число геодезических, среди которых есть и {\it изотропные} геодезические~-- интегральные кривые написанного выше дифференциального уравнения. В случае общего положения число допустимых направлений равно 1 или 3 (почти во всех точках $q \in S_0$) и 2 (в~отдельных точках $q \in S_0$). Мы подробно обсуждаем это явление и сопутствующие факты, которые, на наш взгляд, могут представлять самостоятельный интерес. Именно, рассмотрим разрывное векторное поле $$ \vec W(x) = f^{-r}(x) \vec V(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \quad r>0, \, \ n \ge 2, $$ где поле $\vec V(x)$ и функция $f(x)$~-- гладкие, причем $f(x)$ обращается в нуль на регулярной гиперповерхности $\Gamma \subset \mathbb{R}^n$. Если дивергенция поля $\vec W(x)$ равна нулю во всех точках, где $\vec W(x)$ определено (т.\,е. везде, за исключением $\Gamma$), то $\Gamma$ является инвариантной гиперповерхностью поля $\vec V(x)$. Кроме того, во всех особых точках поля $\vec V(x)$, лежащих на $\Gamma$, имеет место определенное соотношение между собственными числами линейной части поля, что во многих случаях приводит к возникновению резонанса. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект \No~16-01-00766).