В работе изучается контактная геометрия обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, квадратичных по старшей производной(так называемых квадратичных уравнений Абеля). А именно, мы реализуем каждое квадратичное уравнение Абеля как ядро некоторого нелинейного дифференциального оператора, который в свою очередь задаётся квадратичной формой на распределении Картана в пространстве 1-джетов. Это позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между квадратичными уравнениями Абеля и квадратичными формами на распределении Картана. Далее с помощью этой реализации мы строим контактно-инвариантную {e}-структуру, ассоциированную с невырожденным уравнением Абеля (т. е. базис из векторных полей, инвариантный относительно контактных преобразований). Наконец, используя построенную {e}-структуру, мы решаем вопрос о контактной эквивалентности невырожденных уравнений Абеля.