Изучается геометрия кубических дифференциальных уравнений Абеля, задан- ных на одномерной вещественной кривой. Доказывается, что каждое такое уравнение яв- ляется ядром некоторого нелинейного дифференциального оператора, который в своюоче- редь задается кубикой на распределении Картана пространства 1-джетов. С помощьюэтого соображения строится контактно-инвариантная {e}-структура, ассоциированная с невырож- денным кубическим уравнением Абеля. Также приводится контактная классификация таких уравнений.