В статье обсуждается новый подход к задаче вычисления топологического индекса Пуанкаре векторных полей на многообразиях с произвольными особенностями, который основан на использовании классической леммы де Рама и понятии гомологического индекса. В частности, описывается метод вычисления индекса векторных полей, заданных на кривых, на поверхностях и на полных пересечениях с изолированными особенностями, а также на гиперповерхностях с произвольными особенностями, включая дискриминанты и бифуркационные множества. В квазиоднородном случае соответствующие формулы для вычисления индекса выражаются через значения элементарных симметрических функций. Рассматриваются также некоторые приложения к задачам классической механики и теории бифуркаций.