Рассмотрена задача оптимального управления объектом, который описывается одномерным уравнением переноса, определённым на конечном отрезке, с дробной производной по времени. Оператор дробного дифференцирования понимается в смысле Капуто. Рассматривается случай, когда управления входят как в правую часть уравнения и зависят от пространственных координат и времени, так и в граничные условия и зависят только от времени. Поставлены две задачи оптимального управления: 1) задача перевода объекта из начального состояния в заданное за минимальное время при ограничении на норму управляющих воздействий; 2) задача перевода объекта из начального состояния в заданное за фиксированное время при минимальной норме управления. Предполагается, что допустимые управления принадлежат классу функций, интегрируемых в заданной области со степенью p. Показано, что поставленная задача оптимального управления может быть сведена к известной проблеме моментов и соответствующей задаче на условный минимум выпуклой функции многих переменных. Для полученной проблемы моментов определены условия, при которых она может быть поставлена и является разрешимой. Работа может быть полезной при разработке систем управления объектами, в динамике которых проявляются эффекты аномальной диффузии.