Исследована задача оптимального управления для линейной стационарной системы дробного порядка в случае, когда допустимые управления ищутся в классе функций, интегрируемых со степенью p на отрезке. Показано, что исследуемая задача может быть сведена к проблеме моментов. Доказаны условия постановки и разрешимости для полученной проблемы моментов. Рассмотрены примеры решения задач оптимального управления для двух систем: двойного интегратора и фрактального осциллятора. Получено аналитическое решение задач. Исследованы зависимости нормы управления и минимального времени перехода в конечное состояние от порядка системы в случае различных величин p. Исследована качественная динамика систем: вычислены границы интегральных воронки фазового портрета дифференциальных включений, описывающих изучаемые системы; вычислены фазовые траектории систем в режиме оптимального управления.