В данной работе приводена классификация регулярных гладких функций на плоскости относительно псевдогруппы конформных преобразований. Вначале получим формальную классификацию функций. Это достигается описанием орбит конформного действия в пространствах джетов и нахождением алгебры конформных дифференциальных инвариантов. Мы уточняем понятие конформного дифференциального инварианта, понимая под последним функцию на пространствах джетов, полиномиальную вдоль слоев естественных расслоений, а также полиномиальную относительно величины, обратной к квадрату градиента и инвариантную относительно конформных преобразований. Теорема 3 дает описание структуры этой алгебры. Мы находим также инвариантную симплектическую и метрическую структуры на алгебре дифференциальных инвариантов, используя которые мы строим инвариантные дифференцирования. Найденное описание алгебры дифференциальных инваринтов сводит проблему локальной конформной эквивалентности к разрешимости некоторых систем дифференциальных уравнений третьего порядка. Выполнение условий дифференциальной сизигии обеспечивает формальную интегрируемость этой системы, а теорема Картана-Келера позволяет дать конформную классификацию вещественных аналитических функций.