Изложена теория обратимых механических систем с первыми интегралами. В частности, введены понятия симметричного и асимметричного интегралов. Доказано, что любой первый интеграл есть сумма симметричного и асимметричного первых интегралов. Установлена связь симметричного периодического движения и первого интеграла. Доказана отсутствие почти везде четвертого первого интеграла в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.