Классическая теорема о неявной функции утверждает, что если 𝑋, 𝑌 и 𝑍 – банаховы пространства и 𝐹 – непрерывно дифференцируемое отображение из окрестности точки (𝑥, ̂︀ 𝑦̂︀) ∈ 𝑋 × 𝑌 в 𝑍 такое, что 𝐹(𝑥, ̂︀ 𝑦̂︀) = 0 и 𝐹𝑦(𝑥, ̂︀ 𝑦̂︀) – обратимый оператор, то существует непрерывно дифференцируемое отображение (неявная функция) 𝜙 из некоторой окрестности 𝑉 точки 𝑥̂︀ в 𝑌 , для которого выполняется равенство 𝐹(𝑥, 𝜙(𝑥)) = 0 при всех 𝑥 ∈ 𝑉 . Оказывается, что при этих предположениях справедливо большее: неявная функция существует не только для отображения 𝐹, но и для всех отображений, которые достаточно близки (в определенном смысле) к 𝐹. Более того, если близкое к 𝐹 отображение непрерывно дифференцируемо, то и соответствующая неявная функция непрерывно дифференцируема. Такие свойства важны для приложений в ситуациях, когда исходные данные заданы неточно или когда мы аппроксимируем “сложное” отображение 𝐹 более простым.