Исследуются метрическая регулярность и теорема устойчивости с корневой оценкой расстояния для гладких отображений, действующих в гильбертовых пространствах. Основной результат представляет собой достаточное условие метрической регулярности и устойчивости корневого типа и формулируется без априорных предположений нормальности. В качестве приложения полученных условий выводятся теорема Люстерника о касательном конусе и теорема об обратной функции в окрестности анормальной точки. Построены примеры, демонстрирующие суть предложенных предположений.