Аннотация: Кусочно-линейные марковские процессы (КЛМП) были введены Б.В.Гнеденко и И.Н.Коваленко в 1966 г. как удобный инструмент для исследования поведения СМО методами теории марковских процессов. Однако позднее внимание исследователей переключилось на более узкий класс процессов – кусочно-детерминированные марковские процессы (КДМП), введённые М.Дэвисом (M.H.A.Davis) в 1984 г.; КДМП намного удобнее в исследованиях инфинитезимальными методами, поскольку предполагают абсолютную непрерывность распределения времени пребывания процесса на “некотором уровне”. Исследование асимптотического поведения кусочно-линейных марковских процессов чрезвычайно важно для приложений ТМО. Важным шагом в этом направлении было описание для СМО M|G|n|0 предельного распределения и достаточного условия сходимости Б.А.Севастьяновым в известной работе 1957 г., однако, по-видимому, до сих пор условие сходимости распределения КЛМП и вид предельного распределения не были описаны в общем виде. В докладе будет сообщено необходимое и достаточное условие слабой сходимости распределения одномерного кусочно-линейного марковского процесса к стационарному распределению, а также будет дано точное описание этого стационарного распределения (и, если окажется достаточно времени, будет приведено доказательство). Однако основной целью доклада является изложение способа оценки скорости сходимости распределения КЛМП к стационарному в метрике полной вариации с помощью каплинг-метода, использующего счётное число независимых стационарных процессов. Такой подход позволяет существенно ослабить условия, в которых можно оценивать скорость сходимости распределения КЛМП с помощью каплинг-метода. Кроме того, предложенная технология позволяет выписывать точные оценки коэффициентов функции (например, показательной или степенной), оценивающей скорость сходимости.