20 марта в диссертационном совете Физтех-школы прикладной математики на базе Московского физико-технического института научный сотрудник лаборатории №6  «Управления сплошными средами им. А.Г. Бутковского» С.С. Мухина успешно защитила кандидатскую диссертацию по специальности «Дифференциальные уравнения и математическая физика» на тему «Контактизация систем дифференциальных уравнений первого порядка на двумерных многообразиях». Научный руководитель – заведующий лаборатории №6 д.ф.-м.н. А.Г. Кушнер. 

В диссертации разработан новый метод точного решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Результаты были применены к задачам фильтрации нефти в пористых средах, что позволило получить неизвестные ранее аналитические решения и дать детальное описание процесса управления вытеснением нефти из природных резервуаров при помощи химически активных реагентов. 

Ранее С.С. Мухина стала победителем конкурса Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС», о чем мы писали в декабре 2024 г. Сотрудничество с Фондом продолжается по сей день.

Мы поздравляем Светлану Сергеевну и Алексея Гурьевича с успешной защитой, желаем Светлане Сергеевне достичь новых творческих и научных высот, а Алексею Гурьевичу много новых талантливых учеников!

 

Воспользовавшись приятным поводом мы попросили Светлану Сергеевну ответить на несколько вопросов. 

 

Как Вы видите свою будущую научную карьеру? Вас больше привлекает научные исследования, преподавание или организация науки?

Защита диссертации стала итогом четырех лет работы. На этом пути было немало сложностей — и в профессиональной, и в личной жизни. Я до сих пор до конца не осознала, что этот этап пройден, поэтому больших планов пока не строю. Но я точно знаю, что продолжу заниматься нелинейными дифференциальными уравнениями и их практическими применениями, в том числе — в теории управления сплошными средами, а что из этого получится, покажет время. 

За годы работы в нашем Институте я получила опыт выступления на конференциях, подготовки заявок и отчетов по грантам, участия в Молодежных научных школах. Так что обязательно продолжу заниматься и этим. Еще мне хочется попробовать себя в роли научного руководителя студентов и начинающих молодых сотрудников. 

 

Почему и как Вы заинтересовались темой Вашей диссертации? Вы планируете развивать ее дальше или есть другие, не менее интересные для Вас области?

Тема диссертации определилась не сразу. Когда я училась в магистратуре Высшей школы экономики и работала математиком в лаборатории №6, мой научный руководитель А.Г. Кушнер предложил решить задачу управления фильтрацией суспензии с осадкообразованием. Такие задачи возникают при разработке нефтяных месторождений в окрестности скважин, где мелкие твердые частицы породы засоряют поры и затрудняют добычу нефти, а также при конструировании фильтров. 

Основой метода явились теоретические результаты, полученные ранее Алексеем Гурьевичем, и нам было интересно, как эти результаты можно использовать в реальных прикладных задачах. 

Мне удалось получить условия, при которых соответствующие дифференциальные уравнения можно заменой переменных привести к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, что позволило построить общее решение исходной нелинейной системы уравнений. Эти результаты послужили основой моей магистерской диссертации. Потом оказалось, что данный метод можно распространить на широкий класс нелинейных уравнений, что и было сделано в моей кандидатской диссертации. 

Это было несколько неожиданно, так как привело к новому взгляду на системы нелинейных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Традиционно такие системы рассматриваются как многообразия в специальном пространстве – так называемом пространстве джетов. Оказалось, что добавление еще одной координаты существенно расширяет группу допустимых преобразований систем. Те системы, которые не интегрировались в пространстве джетов, оказались интегрируемым в этом расширенном пространстве. Такую процедуру построения расширенного пространства мы назвали контактизацией систем.

Вообще говоря, уравнения, описывающие реальные процессы, являются нелинейными, и общая теория для них, в отличие от уравнений линейных, еще не построена. Поэтому для исследования нелинейных уравнений часто применяют линеаризацию — метод, состоящий в принудительном отбрасывании нелинейных членов. Задача становится проще, но при этом теряются многие эффекты. В нашем методе ничего не отбрасывается, а строится точная замена переменных. Таким образом иногда удается свести задачу к линейной. 

Оказалось, что такой подход применим ко многим задачам теории сплошных сред. Мне было интересно абсолютно все — я понимала, что создаю нечто новое и при этом вижу реальную применимость метода. Кроме того, мне понравилось, что метод лежит на стыке двух математических дисциплин — теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. 

Мои исследования были поддержаны двумя грантами — Российского научного фонда (грант № 25-21-00152) и фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС» (грант № 23-7-5-52-1).

В моих планах — заняться конечномерными динамиками и решением обобщенной задачи Коши для неинтегрируемых уравнений. Также хочу глубже погрузиться в физику особенностей решений для систем, которые рассматривались в диссертации.

 

Как Вы оказались в ИПУ РАН? Что Вас привлекает в Институте? Какие возможности, которые предоставляет ИПУ РАН, Вам наиболее интересны?

В ИПУ я попала благодаря учебной практике, будучи студенткой третьего курса МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2019 г. Именно тогда я и познакомилась с заведующим лабораторией №6 А.Г. Кушнером. Мне настолько понравились решаемые в лаборатории задачи, что, когда он предложил продолжить совместную работу уже в должности штатного сотрудника, я не сомневалась ни секунды.

В Институте мне нравится свобода выбора тем исследования. Я занимаюсь теми задачами в рамках тематики лаборатории, которые мне интересны. У меня есть возможность посещать конференции и молодежные школы в разных городах. Вряд ли я оказалась бы там при других обстоятельствах. Среди них — школа-конференция молодых ученых «Управление большими системами».  При желании я могу заниматься спортом, быть волонтером на конференциях, участвовать в работе Совета молодых ученых и делать еще много того, что предлагает Институт.

Благодаря людям, которые здесь работают, я знаю: если мне понадобится распечатать 3D-модель, поиграть в бильярд, поменять область научных интересов или просто получить консультацию — я обязательно найду того, кто мне в этом поможет.

 

Беседу вела Л. Бойко