Анормальные задачи профессора Арутюнова

- Арам Владимирович, насколько мне известно, Вы математик. Расскажите, пожалуйста, подробнее о Вашей работе. Какими именно темами Вы занимаетесь?

Да, я математик, хотя изначально заканчивал кафедру оптимального управления ВМК МГУ. Эту кафедру долгие годы возглавлял Лев Семенович Понтрягин, один из создателей теории оптимального управления. Его знает весь мир, это один из крупнейших математиков-теоретиков двадцатого века.

Окончив университет, я занимался теорией оптимального управления. Потом это постепенно переросло в общую теорию экстремальных задач. Что такое экстремальные задачи – это когда есть какое-то множество в абстрактном пространстве (или подмножество), и вы хотите найти на нем минимум функций. Это такая очень абстрактная постановка задачи, Естественно, в таком общем виде ее исследовать невозможно. Поэтому ее исследуют в предположениях, что все функции, участвующие в постановке задачи, определены на линейном пространстве и являются достаточно гладкими. Но для исследования этой задачи существуют математические подходы, эту область математики называют «математическое программирование». К программированию это никакого отношения не имеет, это просто математический термин, «mathematical programming». Это задача исследования минимума функций на допустимом множестве, задаваемом ограничениями. И я переключился на эти более общие задачи. Затем, после защиты докторской диссертации в 1988 году, я постепенно начал флуктуировать в сторону задач нелинейного анализа. Это такая общая область математики, которая включает в себя всяческие нелинейные объекты, отображения, гладкие и негладкие, их описание, исследование множества нулей гладких отображений. Это принципиально отличается от линейного анализа, где все описывается линейными операторами.

Но особенно меня интересовали не просто нелинейные отображения, меня всегда почему-то с юных лет тянуло ко всяким, можно сказать, «вырождениям». Есть такой термин: «анормальные задачи», который активно использовался в 50-х годах прошлого века в работах чикагских специалистов по вариационному исчислению. А, может быть, он появился и раньше, уже были книжки, где использовался этот термин. Он происходит от английского «abnormal». По-русски - просто «анормальные задачи». Этот термин мне очень понравился. Это задачи, в которых вырождаются какие-то условия. Например, типичная ситуация: вы рассматриваете теорему об обратной функции, причем ее производная в рассматриваемой точке вырождена, например, равна нулю. Теорема об обратно функции – классическая теорема, которой уже больше ста лет, даже, наверное, лет сто пятьдесят. А ситуация, в которой производная вырождена, возникает, например, для квадратичных отображений. Для них вопрос об обратной функции долге годы оставался открытым. Вот как раз квадратичное отображение – это типичный пример анормальной задачи. В теории оптимального управления анормальные проблемы, естественно, тоже возникают. Например, это относится к задачам с фазовыми ограничениями, которыми я начал заниматься, еще не будучи кандидатом наук, в 1980-м году, наверное, или в самом начале 1981-го.

Что это такое – задачи с фазовыми ограничениями? Вот представьте себе, у вас объект движется под воздействием управления, но фазовая траектория обязана удовлетворять еще некоторым ограничениям. Фазовая траектория все время должна находиться в заранее заданном множестве, ну, например, выходить из какого-нибудь шара, или эллипсоида. Или, например, если самолет летит из пункта А в пункт Б, естественно, пункты А и Б находятся на земле, а самолет во все остальные моменты времени не должен касаться земли. Т.е., у вас ограничение – третья координата должна быть положительна. Вот вам фазовое ограничение. Это очень естественный класс задач, который возникает именно в приложениях, отсюда эти задачи и появились. Первые серьезные работы по фазовым ограничениям, наверное, относятся к 1959 году. И они были выполнены нашим выдающимся советским математиком академиком Ревазом Валериановичем Гамкрелидзе.

И с тех самых пор эти задачи привлекали особенное мое внимание, потому что, с одной стороны, практически они востребованы очень сильно, и сейчас и всегда, и никому не надо объяснять их важность, а, с другой стороны, они очень тяжело поддаются исследованиям, необходим дополнительный математический аппарат для исследования этих задач. Да, а почему я заговорил про анормальность – потому что очень многие задачи являются автоматически анормальными, и условия оптимальности вырождаются в них. Необходимое условие оптимальности, принцип максимума Понтрягина, в одной из типичных своих формулировок, вырождается если хотя бы одна из точек траектории, начальная или конечная, принадлежит границе фазовых ограничений. И с этим надо что-то делать. Это было предметом моих исследований, начиная с 1984-85 года. И до сих пор эта тематика очень актуальна, особенно на Западе. Последнюю работу мы написали с моим учеником, Дмитрием Карамзиным, молодым доктором наук. Она будет опубликована в одном из ближайших номеров журнала JOTА, это очень известный европейский журнал по теории оптимального управления. Поэтому данная тематика постоянно остается для меня актуальной, интересной. И она как раз очень хорошо вписывается в интересы Института, потому что здесь, в Институте проблем управления, традиционно занимались оптимальным управлением, здесь были известные специалисты: Кротов, Красносельский, Цыпкин, Розоноэр, да и многие другие. Трудно всех перечислить, кто занимался классическим оптимальным управлением.

В последние годы я активно занимаюсь созданием математического аппарата для исследования такого рода задач: это проблемы нелинейного анализа. Это и теорема об обратных функциях, результаты по точкам совпадения. Задача о точках совпадения формулируется достаточно просто: даны два отображения f и g, которые действуют из пространства X в пространство Y. Точка совпадения – это решение уравнения f(х)=g(x). Задача понятная, это далекое обобщение теоремы о неподвижной точке, и они имеют огромное количество приложений, вот как раз задачами такого типа я начал заниматься с 2007 года. Сейчас я активно занимаюсь всеми задачами, которые я перечислил: задачами нелинейного анализа, условиями оптимальности второго порядка для оптимальных задач и так далее, задачами с фазовыми ограничениями. Со мной вместе работают мои ученики, два очень талантливых человека, уже мной упомянутый Дмитрий Карамзин и год назад защитивший докторскую диссертацию Сергей Жуковский, который вместе со мной пришел в ИПУ. Это очень перспективные ребята, у которых, я уверен, огромное математическое будущее. Сергей Жуковский – мой постоянный соавтор, мы вместе пишем статьи. Не буду хвастаться, но нас публикуют в ведущих европейских журналах, таких как SICON, SIOPT, Mathematical Programming, JOTA и т.д. Ну, кроме наших родных журналов типа «Успехи математических наук», «Математический сборник», «Известия академии наук», «Математические заметки», «Доклады академии наук» и т.д. Вообще я должен сказать, что более 10 моих учеников защитили кандидатские диссертации, в том числе из Черногории, из Сербии, из Бенина. Из Бенина был самый первый мой аспирант, я тогда работал в Университете дружбы народов.

- Вы фактически формируете новую лабораторию. Какие Вы видите перспективы для лаборатории и для Института? Что Вы планируете изменить?

Какие я вижу перспективы, что я жду от лаборатории, что я хотел бы сделать в Институте проблем управления – ну хотелось бы здесь максимально активно продолжить исследования, развивать математический подход к задачам оптимизации, теории управления. В Институте есть замечательные математики, в том числе несколько очень известных специалистов. Математика в Институте всегда, со времен Красносельского, Бобылева и других, всегда была на очень высоком уровне, это был один из крупных математических центров. Хотелось бы продолжить их традиции в этом направлении.

- Можно сказать, что у Вас есть своя школа, у Вас ведь много учеников?

Да, есть. Еще со мной вместе в ИПУ перешла Наталья Геннадьевна Павлова, она кандидат наук, занимается теорией импульсного управления и приложениями в математической экономике.

- Тоже Ваша ученица?

Да, это моя прямая ученица. Еще в лабораторию пришла другая моя прямая ученица, Зухра Тагировна Жуковская, которая, как и все мои ученики, защищала кандидатскую диссертацию в МГУ.

Я считаю, это большая удача, что у меня оказались ученики. Обычно сейчас как происходит – человек защитил кандидатскую, машет ручкой и идет работать в банк. А мне просто так повезло, что Жуковский, Карамзин, Павлова оказались людьми, которым в первую очередь интересна математика, а уж во вторую всяческие земные блага. И, да, школа у меня безусловно есть. Раньше у одного руководителя бывало по 7-8 докторов наук. Сейчас это большая проблема, но мне в этом плане повезло.

- Это Ваши ученики в основном из РУДН, или из МГУ?

Вот Карамзин, например, из МГУ, Павлова из РУДН. А у Сергея Жуковского вообще судьба очень интересная. Он окончил Тамбовский госуниверситет, бакалавриат и магистратуру, потом год послужил в армии, потом отправился в Калгари, в Канаду, поступил там в магистратуру. И когда он окончил магистратуру в Канаде, все решили, что теперь он станет гражданином мира, но оказалось, что он хочет домой. Выбрал Университет дружбы народов, пошел в аспирантуру ко мне. И сделал очень хорошие кандидатскую и докторскую диссертацию. Это быстро растущий математик, у которого очень большое будущее. А Зухра Жуковская из Уфы, окончила там бакалавриат, а магистратуру уже на ВМК МГУ.

- А Ваш ученик из Бенина? Очень интересно, какова его дальнейшая судьба?

Он стал профессором, и в своей стране работает на высоких позициях.

- То есть, он там востребован?

Востребован! Российское образование! Серб, мой ученик, сейчас получил должность full professor в Белградском университете. Черногорский, он в Подгорице, продолжает заниматься математикой, и, надо сказать, он тоже full professor.

- А новые ученики?

Аспирант из Индии. Перспективных студентов у меня сейчас нет. Разве что можно надеяться на студентов с ВМК, но их в большей степени интересует не наука, а карьера.

- Это проблема данного выпуска, или вообще ВМК, что люди мало интересуются наукой?

Вообще это и ВМК, и современная молодежь в целом. То, что у меня есть школа – это, повторяю, мне крупно повезло, это как раз типичная анормальная ситуация. Я вот занимаюсь анормальными задачами, и мне анормально повезло.

- Об этом много говорят сейчас, что нет интереса к точным наукам. Они, молодежь, такие вообще?

Они такие. Вот Жуковский болен наукой. Когда у меня было осложнение после аппендицита, я спросил у моего хирурга, какая у него зарплата. А зарплата у хирурга была в то время такая же, как у профессора, а у профессора тогда была порядка 40 долларов. И я спросил: зачем ты тут работаешь, по ночам, и он ответил: но мы уже без этого не можем. И те люди, которые остались в науке, он просто без этого не могут. Они просто больны этим. И патриотизм их поражает. Они хотят работать здесь.

- Вы сейчас формируете лабораторию?

Ну, лаборатория уже есть. Но будут, конечно, какие-то изменения.

- И в тематике, наверное?

В людях в первую очередь, ну, и в тематике, потому что лаборатория, как всякая организация, так же как, к примеру, институт, университет, она определяется своими людьми. А не тем, какая тематика указана. Если люди активно работают, с интересом относятся к науке, не так важно, чем они не занимаются. Умный человек, изучающий квадратные уравнения, намного более интересен, чем бездарный, который любую интересную задачу может провалить.

- В нашем Институте кто-то занимается прикладными вещами, кто-то в большей степени – теорией. К чему можно отнести ваши исследования, к прикладным задачам?

Прежде всего скажу, что я приложениями не занимался, и мне очевидно, что лаборатория в основном занимается именно теорией, чистой наукой. Но при всем при том я с огромным почтением отношусь к прикладной науке. Она служит во многом движущим стимулом. Наука не делится на какую-то там чистую и «грязную». Крупных прикладных математиков была уйма. Они составляют цвет и отечественной, и мировой науки. Тут я очень высоко ценю прикладные исследования. Главное, чтобы они проводились на высоком уровне.

- Т.е., наука есть наука?

Наука есть наука. А какая разница? Был великий академик Алексей Николаевич Крылов, можно считать, что он прикладник – он занимался остойчивостью корабля. И он выдающийся математик, и его вклад в науку огромен. Теория остойчивости корабля до сих пор активно используется. А известные математики-теоретики Андрей Николаевич Тихонов и Мстислав Всеволодович Келдыш получили выдающиеся результаты в прикладной математике.

В то же время скольких абстрактных теоретиков – математиков, физиков – забыли после защиты диссертации на следующий день? Главное, чтобы человек что-то стоящее делал. И такие люди в Институте есть. И были, и есть, и, я уверен, будут. Ну а будущее – что ж, надо работать. И будем работать.

- Вы говорите, что вам повезло с учениками. Но, наверное, всегда будут появляться люди, имеющие стремление к науке, для которых наука – это их предназначение. Всегда так будет, хотя, может быть, сейчас это сложнее. Но если немного поменять условия, или, лучше сказать, создать условия, – ситуация изменится, станет лучше? Или же всегда есть только какое-то определенное количество людей, которые хотят и будут работать в науке, и их всегда будет меньшинство, большинство же будет заниматься другими вещами?

Ну, в общем, наверное, так и есть. При советской власти все стремились защитить кандидатские диссертации, это был трамплин в будущее.

- Но много ли при этом было настоящих ученых?

Ученых было не больше, чем сейчас. Но посмотрим, что будет дальше. В любом случае, интерес к абстрактной, фундаментальной науке сейчас во всем мире резко ослабел. Во всем мире. Россия находится еще не в худшей ситуации.

- А если сравнить научные достижения России и других стран? В каких странах больше достижений? Или процессы идут равномерно по всему миру?

Кто-то сказал, что в России поэт – это больше чем поэт, а я скажу так: в России математик до сих пор – это больше чем математик. Я все-таки думаю, что советская математическая школа, те крупные математики, которые еще остались здесь, и работают, они действительно являются лидерами в многих областях математики. Во многих областях, хотя далеко не во всех, естественно. Но, кстати, что касается области теории оптимального управления, то и Советский Союз, и Россия безусловно и были, и остаются лидерами в этой области.

- И основоположниками?

И основоположниками. Основа была заложена книгой «Математическая теория оптимальных процессов» четырех авторов: Понтрягин, Болтянский, Гамкрелидзе, Мищенко. Книга была опубликована, если не ошибаюсь, либо в 1959-м, либо в 1961 году. За нее авторы получили Ленинскую премию. Эта книга до сих пор является настольной для математиков всего мира. Она переведена на все европейские, и не только европейские языки. Это абсолютнейший бестселлер. Эта книга заложила основы теории оптимального управления. Написана она большей частью Ревазом Валериановичем Гамкрелидзе, у которого был блестящий литературный стиль, это тоже чувствуется. Но и Понтрягин писал прекрасно. Советские математики с самого начала и по сегодняшний день остаются безусловными лидерами в этой области. Ну и в некоторых других областях мы не уступаем, хотя в каких-то других уступаем. Много математиков советских, переехавших за границу, там работают, но остаются при этом русскими людьми. Вот я, например, знаю школу, к которой относится мой сын. Это школа Александра Сергеевича Мищенко, он профессор Московского университета, до сих это пор один из лидеров в своей области – абстрактная математика: это смесь математического анализа, дифференциальной геометрии, топологии. И мой сын активный его ученик, он работает сейчас в Физтехе. Там есть серьезные направления.

- Это тот самый Мищенко, автор основополагающей книги?

Нет, это другой Мищенко. Было два Мищенко. Евгений Фролович – из этой четверки, а Александр Сергеевич, так сказать, младший Мищенко (он 1941 года рождения), но никакого отношения к нему не имеет, он всегда работал в МГУ. А это все люди, четверка, они из Математического института имени В. А. Стеклова РАН. Понтрягин был заведующим отделом, а это все три его ученика.

- Получается, наша научная основа – это все-таки Академия?

На мой взгляд идеальное соотношение – это все-таки как у американцев: университет должен быть научной составляющей. Вот такое идеальное сочетание сложилось в Новосибирске, в Академгородке. Я читал там лекции в течение нескольких недель, и читал их в Институте математики им. Соболева. Тех же студентов, которые сидели на лекции, буквально через час я видел в университете. От Новосибирского университета до Института математики идти пешком минут 20. Это академический институт, но люди на всех кафедрах все те же самые. Они просто ходят из одного места в другое. До обеда тут, а после обеда там.

Это идеальное сочетание. Я считаю, что будущее все-таки за такими огромными конгломератами, как Московский государственный университет, который занимался бы еще активно научной деятельностью. Почти все сотрудники Института Стеклова преподают либо в Физтехе (в основном в Физтехе), либо кое-кто в МГУ, но этого должно быть еще больше. Они должны слиться друг с другом.

- Но, в принципе, у нас же очень многие академические ученые преподают?

Да. Но желательно, чтобы было как в Новосибирске, чтобы совсем перетекало одно в другое.

- Но возникает вопрос. У нас есть свое ноу-хау: Академия наук. Американская система - хорошая, но раз у нас есть свое, и не самое плохое, может, ломать не надо? Или то, что имеем, надо все-таки развивать?

Ломать точно ничего не надо. Лучше развивать постепенно.

- Должна происходить какая-то эволюция?

На самом деле, она происходит. В ИПУ, я знаю, читаются лекции для студентов Физтеха. Я хочу попробовать приглашать своих студентов с ВМК, чтобы они ездили сюда, здесь буду какие-то спецкурсы им читать. Это было бы естественное такое перетекание одного в другое. Вот это то, о чем я говорил, здесь я как раз «за». Только ломать ничего не надо.

- Не нужно резких изменений системы, хоть и устаревшей? Пусть развивается эволюционно?

Пускай развивается. Я бы активно развивал практику, чтобы студенты ездили в институты. Вот Физтех, у них есть базовые кафедры, и студенты многие сидят в институтах, начиная с 4-го курса. Вот вам, пожалуйста, тот же самый Новосибирск. И если ИПУ пойдет по этому пути, можно будет наладить сотрудничество и с ВМК МГУ, и, может быть, с Мехматом. С Физтехом, я знаю, у ИПУ уже есть связи. Если эти связи будут развиваться такими быстрыми темпами, это только пойдет на пользу, и Московского университету, и Институту.

- То есть, тут плюс еще и в том, что студенты не просто слушают лекции, они занимаются научной работой?

Ну конечно. Потому что как можно воспитать ученого? Научить его нельзя. Он может только по системе, как в армии, «делай как я». Когда раньше в танках не было системы рации, командир командовал: «делай, как я» и лез в танк. И все смотрели на командира и повторяли его действия. Так же и мои ученики – они видели, что я делаю, ну и чего-то там сами копались.

- Т.е., обучение без научной работы – для будущих ученых вещь бесполезная?

Конечно. Очень важно, чтоб были научные семинары. И на семинары в ИПУ чтоб ездили студенты, и в МГУ сотрудники ИПУ вели семинары. Вот коллег из ИПУ на ВМК я, к сожалению, практически не вижу.

- А надо было бы…

А надо было бы. Очень даже. Я бы за это ратовал двумя руками.

- Вы считаете, что будущее за такой структурой?

Да, за таким конгломератом. Я считаю, что это сможет дать правильное направление развития. Но только без всяких ломок, всяких административных деяний.

- В принципе, живой организм, и пусть развивается, мешать только не надо?

Мешать не надо, можно стимулировать. Но только без приказов, без команд. Сами, кто надо, поедут, а кто не захочет – пусть, не нужно. И, кстати, это очень сильно омолодит ИПУ. Мы говорим сейчас про ИПУ, но это же можно сказать и про вузы, про другие академические институты. В ЦЭМИ, например, я знаю, сотрудники читают лекции студентам из МАИ.

- Получается, в будущее вы смотрите с оптимизмом? Со сдержанным оптимизмом?

С умеренным…Оптимист – это плохо информированный пессимист. На самом деле, я считаю, что просто надо делать то, что ты считаешь нужным, и делать максимально хорошо, а уж что получится, то получится.

Вот есть у меня такая мысль: кроме организации серьезного семинара по нелинейным задачам оптимизации, может быть, для сотрудников ИПУ прочесть несколько лекций (не знаю, насколько им будет интересно) по теории оптимального управления. Потому что, как выясняется, теорию оптимального управления люди уже не знают. Или знают очень мало. Думают, что знают, а на самом деле не знают. А тут как раз такой редкий случай, когда появился я – как раз специалист по теории оптимального управления.

- Но все же оптимальное управление многим математикам хорошо знакомо?

Недавно я ехал в трамвае и правил свою статью. Вдруг сзади какая-то молодая дама спрашивает: «А это вы вариационным исчислением занимаетесь?» Я удивился. А названия-то не было видно, статья была открыта на одной из страниц. Она увидела это по формулам. Ну, есть любители поговорить о математике, где угодно: в метро, в троллейбусе, в пивной. Я не очень любезно говорю: «А что?» Она отвечает: «А я вариационное исчисление преподаю в Физтехе». Спрашиваю, «а кто лекции читает?» «Левон Андреевич Бекларян по книжке Арутюнова. Вы, спрашивает, его знаете?» «Да, отвечаю, я и есть Арутюнов».

Так что, знакомо, да. Речь шла об учебнике, написанном более 10 лет назад мной в соавторстве с известным математиком профессором МГУ Владимиром Михайловичем Тихомировым. Когда Бекларян читал лекции, он все время расхваливал изложение и тематику, говоря мне: «Как Тихомиров хорошо написал!». Когда же речь доходила до описок, пропуска в формулах и других глупостях, Бекларян говорил мне: «Что ж ты снова напортачил?». Я рассказал Тихомирову об этой «несправедливости», на что он сказал: «Арам, валите все на меня, я старый, мне уже все равно».

 

 

Беседу вела И.Г. Татевосян