Предисловие Развитие науки и промышленности сопровождается созданием управляемых объектов различного назначения, повышением требований к надежности и качеству выполняемой работы, усложнением целей, поставленных перед ними. Значительно расширился класс объектов, работающих в условиях неполной априорной и текущей информации об их состоянии, параметрах, взаимодействии со средой. В связи с этим задача конструирования нестационарных динамических систем, работающих в условиях неполной информации (иными словами, в условиях неопределенности), приобрела исключительное значение в современной теории автоматического управления. Это подтверждается большим количеством публикаций, содержащих как разработку научных основ конструирования нестационарных систем, так и результаты реализации разработанных методов для управления конкретными физическими объектами. Для возможности изучения функционирования систем с помощью математических методов, необходимо построить ее математическую модель, которая описывает ее эволюцию во времени. Для этого прежде всего требуется определить совокупность величин, которые могут служить количественной характеристикой функционирования системы, а затем установить соотношение между этими величинами. Кроме этого, если задана математическая модель системы, ее эволюция может быть построена, ели известны входные воздействия и начальные условия. Знание фазового вектора при этом имеет фундаментальное значение как при определении изменения во времени заданной динамической системы, так и при построении управляющей функции, которая должна осуществлять целенаправленное влияние на поведение системы. Однако зачастую фазовый вектор недоступен измерению по техническим причинам. В этих случаях он должен вычисляться на основании результатов измерений выхода системы. Ввиду того, что измерения выхода системы, как правило, производятся на фоне действия помех, эти вычисления приводят не к точному, а лишь приближенному значению ‒ к так называемой оценке фазового вектора. Если задача построения вектора оценки состояния системы решается с помощью детерминированной процедуры, т.е. случайные ошибки измерений не учитываются, то говорят о методе наименьших квадратов или детерминированном наблюдении. Если же относительно ошибки измерений известны некоторые подробности, например, ее методическое ожидание и дисперсия, то методами теории вероятностей можно получить лучшее, или оптимальное, значение оценки. В этом случае ошибки наблюдения полезного процесса, проводимые на фоне помех, интерпретируются как случайные процессы и говорят о стохастической постановке задачи фильтрации. Задача линейной фильтрации, первоначально изученная Колмогоровым и Винером в специальном случае, были позднее всесторонне исследованы Калманом и Бюси. Многочисленные приложения подтвердили успех их теории. Задачи оптимального управления стохастическими системами состоят в определении управления, реализующего экстремум математического ожидания заданного функционала качества, зависящего от траектории движения системы и управления. Одним из основных методов построения управления при случайных возмущениях является метод динамического программирования Беллмана. С помощью этого метода синтез управления осуществляется на основе некоторого нелинейного уравнения в частных производных, называемого уравнение Беллмана. Отметим, что указанный метод особенно эффективен для систем без последействия, оптимальное управление которым ищется в классе марковских управлений. Объединение задач оптимального наблюдения и управления формируют единую теорию стохастических систем. Значительное количество методов конструирования и организации стохастических систем было разработано для управления подвижными объектами с неконтролируемо меняющимися параметрами в процессе функционирования, в том числе авиационно-космическими, а также для управления нестационарными технологическими объектами. Потенциальными сферами приложения идей теории управления объектам с неполной информацией о состоянии и взаимодействия со средой являются биомедицинские процессы с их сложными и не полностью обусловленными биологическими моделями. Теоретическое и экспериментальное изучение задач стохастических систем управления развивается широко и стремительно, включает все новые направления исследований. Бурное развитие микроэлектроники, и в первую очередь, средств вычислительной техники, позволяет реализовать сложные алгоритмы наблюдения и управления стохастическими объектами, что, несомненно, повышает их эффективность, надежность, снижает потребление энергоресурсов. Данная книга подготовлена на основе лекций, прочитанных автором в течение ряда лет в рамках курса «Теория управления» студентам департамента прикладной математики Национального Исследовательского Университета «Высшая школа экономики», однако изучение изложенного материала будет полезно студентам и аспирантам других факультетов, а также специалистам, работающим в области управления разнообразными системами. Содержание книги является развитием отдельных глав книги «Математическая теория конструирования систем управления» (В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов), а также дополнением новых разделов теории стохастических систем, появившихся в последнее десятилетие. Считаю своим долгом выразить глубокую признательность В.Б. Колмановскому и В.Р. Носову за многолетнюю совместную преподавательскую и научную работу на кафедре кибернетике МИЭМ.